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| 矩匹配滤波 | 2026-06-22 | 2026-06-22 | concept |
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矩匹配滤波
Moment-matching filter 是 gaussian-filtering 中用于预测步的一类方法。核心理念：用高斯分布的前两阶矩（均值和协方差）来近似状态分布。
最优性基础
根据 nano-filter 论文的 Lemma 1，最大期望高斯似然问题的驻点恰好是矩匹配：
\mu^* = E_{p(x)}[x], \quad \Sigma^* = E_{p(x)}[(x - \mu^*)(x - \mu^*)^\top]
这意味着对预测步而言，矩匹配就是最优 Gaussian 近似。
数值实现
对于非线性函数 f(x) 在 Gaussian 分布下的期望，无法解析计算，需数值方法：
- 无迹变换（UKF）——确定性 sigma 点采样
- Gauss–Hermite 积分（GHKF）——高斯加权积分
- 球面求积（CKF）——球面-径向分解
与 NANO 的关系
nano-filter 的预测步延续矩匹配方法（等价于 UKF/CKF 的做法），但在更新步用 natural-gradient-descent替换了线性化——这是 NANO 与已有 Gaussian filter 的根本区别。