20260625:很多新内容

concepts/stein-lemma.md

@@ -0,0 +1,28 @@
+---
+title: "Stein 引理"
+created: 2026-06-22
+updated: 2026-06-22
+type: concept
+tags: [mathematics, probability, statistics]
+sources: [nano-filter]
+---
+
+# Stein 引理
+
+Stein's lemma 是概率论中一个优雅的结果：对于联合高斯分布的随机变量，协方差可以通过期望的导数来计算。
+
+## 基本形式
+
+若 $(x, y)$ 服从联合高斯分布，且 $f$ 是几乎处处可微的函数，则：
+
+$$
+\text{Cov}(x, f(y)) = \text{Cov}(x, y) \cdot E[f'(y)]
+$$
+
+## 在 NANO 中的应用
+
+[[nano-filter|NANO filter]] 利用 Stein 引理将 Bayesian 滤波中的预测步和更新步的最优性条件转化为解析形式。具体地，Stein 引理允许将对数似然期望的梯度转化为可计算的矩表达式，从而将两个变分问题约化为有限维优化问题。
+
+## 参考
+- [[gaussian-filtering|Gaussian Filtering]]
+- [[nano-filter|NANO Filter]]