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concepts/banach-space.md

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+title: "Banach 空间 (Banach Space)"
+created: 2026-06-17
+updated: 2026-06-17
+type: concept
+tags: [mathematics, functional-analysis, topology]
+sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
+confidence: high
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+# Banach 空间 (Banach Space)
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+Banach 空间是**完备赋范向量空间**——函数分析中最基础的无限维空间结构。在 [[weighted-uat-manifolds|Schmocker & Teichmann (2026)]] 的 [[functional-input-neural-networks|FNN]] 框架中作为输出空间。
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+## 定义
+
+`(X, ‖·‖)` 是 Banach 空间，若：
+1. 范数 `‖·‖` 完备（所有 Cauchy 序列收敛）
+2. `‖x‖ ≥ 0`，等号当且仅当 x=0
+3. `‖λx‖ = |λ| ‖x‖`，`‖x+y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖`
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+## 关键性质
+
+- **Hahn-Banach 定理**：线性泛函可延拓
+- **开映射定理**：满射连续线性映射是开映射
+- **一致有界原理**（Banach-Steinhaus）
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+## 在 FNN 中的角色
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+FNN 的输出空间 Y 是 Banach 空间，允许：
+- 线性读出层 `c_k ∈ Y`
+- 范数控制的逼近误差界
+- BAP（有界逼近性质）的适用
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+## 常见例子
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+- Hilbert 空间（`L^2`）→ Banach 空间的特例
+- `L^p` 空间 (p ≠ 2)
+- 连续函数空间 `C(K)`
+- Sobolev 空间
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+## 参考
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+- [[infinite-dimensional-manifolds|无限维流形]]
+- [[functional-input-neural-networks|FNN]]
+- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]