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Banach 空间 (Banach Space)	2026-06-17	2026-06-17	concept	mathematics functional-analysis topology	raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md	high

Banach 空间 (Banach Space)

Banach 空间是完备赋范向量空间——函数分析中最基础的无限维空间结构。在 weighted-uat-manifolds 的 functional-input-neural-networks 框架中作为输出空间。

定义

(X, ‖·‖) 是 Banach 空间，若：

1. 范数 ‖·‖ 完备（所有 Cauchy 序列收敛）
2. ‖x‖ ≥ 0，等号当且仅当 x=0
3. ‖λx‖ = |λ| ‖x‖，‖x+y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖

关键性质

• Hahn-Banach 定理：线性泛函可延拓
• 开映射定理：满射连续线性映射是开映射
• 一致有界原理（Banach-Steinhaus）

在 FNN 中的角色

FNN 的输出空间 Y 是 Banach 空间，允许：

• 线性读出层 c_k ∈ Y
• 范数控制的逼近误差界
• BAP（有界逼近性质）的适用

常见例子

• Hilbert 空间（L^2）→ Banach 空间的特例
• L^p 空间 (p ≠ 2)
• 连续函数空间 C(K)
• Sobolev 空间

参考

• infinite-dimensional-manifolds
• functional-input-neural-networks
• weighted-uat-manifolds