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concepts/conditional-intensity-function.md

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+title: "条件强度函数 (Conditional Intensity Function)"
+created: 2026-06-16
+updated: 2026-06-16
+type: concept
+tags: [temporal-point-process, intensity-function, stochastic-modeling]
+sources: [raw/papers/advances-temporal-point-processes-2026.md]
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+# 条件强度函数 (Conditional Intensity Function)
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+条件强度函数是时间点过程（TPP）的核心数学工具，描述了给定历史信息下，未来事件发生的瞬时速率。
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+## 定义
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+```
+lambda*(t) dt = P(event in [t, t+dt] | H_{t-})
+             = E[N([t, t+dt]) | H_{t-}]
+```
+
+其中 `H_{t-}` 表示到时刻 t 之前（不含 t）的历史。`*` 号表示该强度以历史为条件，这是 TPP 领域的传统标记。
+
+## 与条件密度的一一对应
+
+强度函数和条件密度函数是一一对应的：
+
+```
+f(t | H_{t_n}) = lambda*(t) exp(-∫_{t_n}^t lambda*(tau) dtau)
+```
+
+这意味着可以通过直接指定强度函数的形式来定义新的 TPP 模型。
+
+## 经典实例
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+- **常数强度** `lambda*(t) = mu` → 齐次泊松过程
+- **时变强度** `lambda*(t) = lambda(t)` → 非齐次泊松过程
+- **Hawkes 形式** `lambda*(t) = mu + sum phi(t - t_n)` → 自激励过程
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+## 在神经 TPP 中的角色
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+几乎所有神经 TPP 都围绕如何从历史中学习然后参数化强度函数展开。RNN/Transformer 编码历史为隐向量 `h_t`，然后输出为强度：
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+```
+lambda*(t) = g(h_t, t)
+```
+
+其中 `g` 需要保证非负输出（ReLU/softplus/exp）。
+
+## 数值积分问题
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+MLE 训练时需要计算 `∫ lambda*(tau) dtau`，这通常没有闭式解，需要 Monte Carlo 或数值积分近似——这是 intensity-based 方法的计算瓶颈，驱动了 [[intensity-free-modeling|intensity-free]] 方向的发展。
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+## 参考
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+- [[temporal-point-process|时间点过程]]
+- [[hawkes-process|Hawkes 过程]]
+- [[intensity-free-modeling|Intensity-free 建模]]
+- [[advances-temporal-point-processes-2026|TPP 综述]]