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条件强度函数 (Conditional Intensity Function)	2026-06-16	2026-06-16	concept	temporal-point-process intensity-function stochastic-modeling	raw/papers/advances-temporal-point-processes-2026.md

条件强度函数 (Conditional Intensity Function)

条件强度函数是时间点过程（TPP）的核心数学工具，描述了给定历史信息下，未来事件发生的瞬时速率。

定义

lambda*(t) dt = P(event in [t, t+dt] | H_{t-})
             = E[N([t, t+dt]) | H_{t-}]

其中 H_{t-} 表示到时刻 t 之前（不含 t）的历史。* 号表示该强度以历史为条件，这是 TPP 领域的传统标记。

与条件密度的一一对应

强度函数和条件密度函数是一一对应的：

f(t | H_{t_n}) = lambda*(t) exp(-∫_{t_n}^t lambda*(tau) dtau)

这意味着可以通过直接指定强度函数的形式来定义新的 TPP 模型。

经典实例

• 常数强度 lambda*(t) = mu → 齐次泊松过程
• 时变强度 lambda*(t) = lambda(t) → 非齐次泊松过程
• Hawkes 形式 lambda*(t) = mu + sum phi(t - t_n) → 自激励过程

在神经 TPP 中的角色

几乎所有神经 TPP 都围绕如何从历史中学习然后参数化强度函数展开。RNN/Transformer 编码历史为隐向量 h_t，然后输出为强度：

lambda*(t) = g(h_t, t)

其中 g 需要保证非负输出（ReLU/softplus/exp）。

数值积分问题

MLE 训练时需要计算 ∫ lambda*(tau) dtau，这通常没有闭式解，需要 Monte Carlo 或数值积分近似——这是 intensity-based 方法的计算瓶颈，驱动了 intensity-free-modeling 方向的发展。

参考

• temporal-point-process
• hawkes-process
• intensity-free-modeling
• advances-temporal-point-processes-2026