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title: "条件强度函数 (Conditional Intensity Function)"
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created: 2026-06-16
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updated: 2026-06-16
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type: concept
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tags: [temporal-point-process, intensity-function, stochastic-modeling]
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sources: [raw/papers/advances-temporal-point-processes-2026.md]
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# 条件强度函数 (Conditional Intensity Function)
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条件强度函数是时间点过程（TPP）的核心数学工具，描述了给定历史信息下，未来事件发生的瞬时速率。
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## 定义
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lambda*(t) dt = P(event in [t, t+dt] | H_{t-})
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= E[N([t, t+dt]) | H_{t-}]
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其中 `H_{t-}` 表示到时刻 t 之前（不含 t）的历史。`*` 号表示该强度以历史为条件，这是 TPP 领域的传统标记。
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## 与条件密度的一一对应
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强度函数和条件密度函数是一一对应的：
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f(t | H_{t_n}) = lambda*(t) exp(-∫_{t_n}^t lambda*(tau) dtau)
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这意味着可以通过直接指定强度函数的形式来定义新的 TPP 模型。
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## 经典实例
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- **常数强度** `lambda*(t) = mu` → 齐次泊松过程
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- **时变强度** `lambda*(t) = lambda(t)` → 非齐次泊松过程
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- **Hawkes 形式** `lambda*(t) = mu + sum phi(t - t_n)` → 自激励过程
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## 在神经 TPP 中的角色
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几乎所有神经 TPP 都围绕如何从历史中学习然后参数化强度函数展开。RNN/Transformer 编码历史为隐向量 `h_t`，然后输出为强度：
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lambda*(t) = g(h_t, t)
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其中 `g` 需要保证非负输出（ReLU/softplus/exp）。
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## 数值积分问题
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MLE 训练时需要计算 `∫ lambda*(tau) dtau`，这通常没有闭式解，需要 Monte Carlo 或数值积分近似——这是 intensity-based 方法的计算瓶颈，驱动了 [[intensity-free-modeling|intensity-free]] 方向的发展。
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## 参考
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- [[temporal-point-process|时间点过程]]
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- [[hawkes-process|Hawkes 过程]]
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- [[intensity-free-modeling|Intensity-free 建模]]
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- [[advances-temporal-point-processes-2026|TPP 综述]]
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