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concepts/functional-input-neural-networks.md

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+title: "函数输入神经网络 (Functional Input Neural Network)"
+created: 2026-06-17
+updated: 2026-06-17
+type: concept
+tags: [neural-networks, functional-analysis, approximation-theory, infinite-dimensions]
+sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
+confidence: high
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+# 函数输入神经网络 (Functional Input Neural Network)
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+FNN 将经典神经网络从**有限维欧氏空间推广到无限维空间**——输入定义在无穷维[[infinite-dimensional-manifolds|加权流形]]上，输出落在 [[banach-space|Banach 空间]]中。
+
+## 数学形式
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+```
+NN(x) = Σ_{k=1}^h c_k · σ(ℓ_k(x)),   x ∈ M
+```
+
+- `ℓ_k : M → R`：连续线性泛函（第一层"权重"被泛函替代）
+- `σ : R → R`：标量非线性激活函数（如 sigmoid、tanh）
+- `c_k ∈ Y`：线性读出系数（输出在 Banach 空间 Y 中）
+- h：隐藏神经元数
+
+## 与经典 NN 的区别
+
+| 维度 | 经典 NN | FNN |
+|------|--------|-----|
+| 输入空间 | R^n | 无限维流形 M |
+| 第一层 | 矩阵乘法 Wx | 线性泛函 ℓ(x) |
+| 输出空间 | R^m | Banach 空间 Y |
+| 隐藏层宽度 | 有限 | 有限（标量激活） |
+
+## 为什么需要加权设置
+
+随机过程的实现**几乎必然不落在紧集中**。加权 UAT 通过权重函数 Ψ 控制函数在大紧集外的增长，确保全局逼近——这对 SDE 解的逼近至关重要。
+
+## 参考
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+- [[universal-approximation-theorem|UAT]]
+- [[infinite-dimensional-manifolds|无限维流形]]
+- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]