myWiki/concepts/functional-input-neural-networks.md

title, created, updated, type, tags, sources, confidence

title	created	updated	type	tags	sources	confidence
函数输入神经网络 (Functional Input Neural Network)	2026-06-17	2026-06-17	concept	neural-networks functional-analysis approximation-theory infinite-dimensions	raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md	high

函数输入神经网络 (Functional Input Neural Network)

FNN 将经典神经网络从有限维欧氏空间推广到无限维空间——输入定义在无穷维infinite-dimensional-manifolds上，输出落在 banach-space中。

数学形式

NN(x) = Σ_{k=1}^h c_k · σ(ℓ_k(x)),   x ∈ M

• ℓ_k : M → R：连续线性泛函（第一层"权重"被泛函替代）
• σ : R → R：标量非线性激活函数（如 sigmoid、tanh）
• c_k ∈ Y：线性读出系数（输出在 Banach 空间 Y 中）
• h：隐藏神经元数

与经典 NN 的区别

维度	经典 NN	FNN
输入空间	R^n	无限维流形 M
第一层	矩阵乘法 Wx	线性泛函 ℓ(x)
输出空间	R^m	Banach 空间 Y
隐藏层宽度	有限	有限（标量激活）

为什么需要加权设置

随机过程的实现几乎必然不落在紧集中。加权 UAT 通过权重函数 Ψ 控制函数在大紧集外的增长，确保全局逼近——这对 SDE 解的逼近至关重要。

参考

• universal-approximation-theorem
• infinite-dimensional-manifolds
• weighted-uat-manifolds