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concepts/nachbin-theorem.md

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+title: "Nachbin 定理"
+created: 2026-06-17
+updated: 2026-06-17
+type: concept
+tags: [mathematics, approximation-theory, functional-analysis]
+sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
+confidence: high
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+# Nachbin 定理
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+Nachbin 定理是 **Stone-Weierstrass 定理的导数版本**——不仅逼近函数值，还同时逼近导数。[[weighted-uat-manifolds|Schmocker & Teichmann (2026)]] 将其推广到加权设置和无限维流形。
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+## 经典版本
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+Nachbin (1949)：有限维流形上多项式代数的稠密性 → 可同时逼近函数和导数。
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+## 加权推广
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+论文的核心贡献之一：
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+- **权重函数 Ψ**：控制函数和导数在大集合外的增长（Ψ-moderate growth）
+- **子代数条件**：分离点 + 包含常数 + 对导数封闭
+- **结论**：该子代数在加权可微函数空间中稠密
+
+## 从 Nachbin 到 UAT
+
+```
+加权 Nachbin 定理（纯数学）
+    ↓ 应用到
+FNN 满足子代数条件？
+    ↓ 需要验证
+1. FNN 分离点 → ℓ_k 足够丰富（BAP）
+2. FNN 非消没 → 常数可表示
+3. FNN 对导数封闭 → σ 光滑 + 链式法则
+    ↓
+加权 UAT for FNN（包含导数逼近）
+```
+
+## 历史脉络
+
+```
+Stone-Weierstrass (1937) ─── 连续函数逼近
+    ↓
+Nachbin (1949) ─── + 导数逼近（有限维流形）
+    ↓
+Prolla/Guerreiro (1972) ─── + 无限维 Banach 空间
+    ↓
+Schmocker/Teichmann (2026) ─── + 加权设置 + 无限维流形
+```
+
+## 参考
+
+- [[universal-approximation-theorem|UAT]]
+- [[weighted-spaces|加权空间]]
+- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]