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| Nachbin 定理 | 2026-06-17 | 2026-06-17 | concept |
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Nachbin 定理
Nachbin 定理是 Stone-Weierstrass 定理的导数版本——不仅逼近函数值，还同时逼近导数。weighted-uat-manifolds 将其推广到加权设置和无限维流形。
经典版本
Nachbin (1949)：有限维流形上多项式代数的稠密性 → 可同时逼近函数和导数。
加权推广
论文的核心贡献之一：
- 权重函数 Ψ：控制函数和导数在大集合外的增长（Ψ-moderate growth）
- 子代数条件：分离点 + 包含常数 + 对导数封闭
- 结论：该子代数在加权可微函数空间中稠密
从 Nachbin 到 UAT
加权 Nachbin 定理（纯数学）
↓ 应用到
FNN 满足子代数条件？
↓ 需要验证
1. FNN 分离点 → ℓ_k 足够丰富（BAP）
2. FNN 非消没 → 常数可表示
3. FNN 对导数封闭 → σ 光滑 + 链式法则
↓
加权 UAT for FNN（包含导数逼近）
历史脉络
Stone-Weierstrass (1937) ─── 连续函数逼近
↓
Nachbin (1949) ─── + 导数逼近（有限维流形）
↓
Prolla/Guerreiro (1972) ─── + 无限维 Banach 空间
↓
Schmocker/Teichmann (2026) ─── + 加权设置 + 无限维流形