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concepts/parametrization-map.md

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+title: "参数化映射 (Parametrization Map)"
+created: 2026-06-10
+updated: 2026-06-10
+type: concept
+tags: ["neuroalgebraic-geometry", "neural-networks", "function-spaces"]
+sources: ["[[relu-neuromanifolds-semi-algebraicity]]"]
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+# 参数化映射 (Parametrization Map)
+
+**参数化映射** Phi: R^M -> C^0(R^d0) 是将网络权重映射到其实现函数的映射：
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+```
+Phi(w) = f_w
+```
+
+其中 w 是权重，f_w 是网络实现的函数。
+
+## 核心性质
+
+1. **非单射**：多个权重映射到同一函数 → [[fiber-of-parametrization|纤维]]非平凡
+2. **非满射**：并非所有连续函数都可被网络表示
+3. **连续分段线性**（ReLU）：像在 PL 函数空间中
+4. **点态半代数性**（Lemma 7）：逐点评价值是半代数函数
+
+## 在神经代数几何中的角色
+
+参数化映射是[[neuroalgebraic-geometry|神经代数几何]]的核心研究对象：
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+- **等价关系** E_Phi：{(v,w) | Phi(v) = Phi(w)} 决定参数的冗余
+- **商问题**：R^M / E_Phi 能否赋予[[semi-algebraic-set|半代数]]结构？
+- **纤维维度**：过参数化的程度的几何度量
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+## 训练视角
+
+训练实际在复合映射上进行：
+```
+R^M --Phi--> M_d --Loss--> R
+```
+
+关键问题：R^M 中的临界点是否也是 M_d 中的临界点？通常不是！这就是虚假临界点问题。
+
+## 参考
+- [[relu-neuromanifolds-semi-algebraicity|ReLU Neuromanifolds]]
+- [[neuromanifold|Neuromanifold]]
+- [[fiber-of-parametrization|Fiber]]
+- [[neuroalgebraic-geometry|Neuroalgebraic Geometry]]