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| 参数化映射 (Parametrization Map) | 2026-06-10 | 2026-06-10 | concept |
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参数化映射 (Parametrization Map)
参数化映射 Phi: R^M -> C^0(R^d0) 是将网络权重映射到其实现函数的映射：
Phi(w) = f_w
其中 w 是权重，f_w 是网络实现的函数。
核心性质
- 非单射：多个权重映射到同一函数 → fiber-of-parametrization非平凡
- 非满射：并非所有连续函数都可被网络表示
- 连续分段线性（ReLU）：像在 PL 函数空间中
- 点态半代数性（Lemma 7）：逐点评价值是半代数函数
在神经代数几何中的角色
参数化映射是neuroalgebraic-geometry的核心研究对象：
- 等价关系 E_Phi：{(v,w) | Phi(v) = Phi(w)} 决定参数的冗余
- 商问题：R^M / E_Phi 能否赋予semi-algebraic-set结构？
- 纤维维度：过参数化的程度的几何度量
训练视角
训练实际在复合映射上进行：
R^M --Phi--> M_d --Loss--> R
关键问题：R^M 中的临界点是否也是 M_d 中的临界点？通常不是！这就是虚假临界点问题。