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concepts/weighted-spaces.md

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+title: "加权空间 (Weighted Spaces)"
+created: 2026-06-17
+updated: 2026-06-17
+type: concept
+tags: [functional-analysis, topology, approximation-theory]
+sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
+confidence: high
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+# 加权空间 (Weighted Spaces)
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+加权空间是 [[weighted-uat-manifolds|Schmocker & Teichmann (2026)]] 框架的**核心技术设定**——通过权重函数 Ψ 控制函数和导数在非紧区域的行为，实现全局逼近。
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+## 动机
+
+经典 [[universal-approximation-theorem|UAT]] 在紧集上工作。但：
+
+- 随机过程的路径**几乎必然不落在紧集中**
+- SDE 解的支撑集是非紧的
+- 需要全局逼近理论
+
+## 定义
+
+权重函数 Ψ 是一族连续函数，定义"可接受的"增长速率：
+
+```
+k               k
+B_Ψ (M; Y) := { f : M → Y in C^k : 对任意 p, ∃C: ‖f‖_{k,Ψ} < ∞ }
+```
+
+其中 `‖f‖_{k,Ψ}` 是加权 C^k 半范数。
+
+## 关键性质
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+- **Ψ-moderate growth**：函数和直到 k 阶导数被 Ψ 控制
+- **子代数条件**：加权空间中乘积的封闭性
+- **分离性**：权重族必须足够丰富以分离点
+- **局部凸结构**：半范数族生成局部凸拓扑
+
+## 扩展：高阶切空间权重
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+论文将加权设置扩展到**高阶切空间**——不仅控制函数值，还控制各阶方向导数。通过 [[bastiani-calculus|Bastiani 微积分]] 的 σ-紧适配实现。
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+## 参考
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+- [[nachbin-theorem|Nachbin 定理]]
+- [[infinite-dimensional-manifolds|无限维流形]]
+- [[universal-approximation-theorem|UAT]]
+- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]