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| 加权空间 (Weighted Spaces) | 2026-06-17 | 2026-06-17 | concept |
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加权空间 (Weighted Spaces)
加权空间是 weighted-uat-manifolds 框架的核心技术设定——通过权重函数 Ψ 控制函数和导数在非紧区域的行为，实现全局逼近。
动机
经典 universal-approximation-theorem 在紧集上工作。但：
- 随机过程的路径几乎必然不落在紧集中
- SDE 解的支撑集是非紧的
- 需要全局逼近理论
定义
权重函数 Ψ 是一族连续函数，定义"可接受的"增长速率：
k k
B_Ψ (M; Y) := { f : M → Y in C^k : 对任意 p, ∃C: ‖f‖_{k,Ψ} < ∞ }
其中 ‖f‖_{k,Ψ} 是加权 C^k 半范数。
关键性质
- Ψ-moderate growth：函数和直到 k 阶导数被 Ψ 控制
- 子代数条件：加权空间中乘积的封闭性
- 分离性：权重族必须足够丰富以分离点
- 局部凸结构：半范数族生成局部凸拓扑
扩展：高阶切空间权重
论文将加权设置扩展到高阶切空间——不仅控制函数值，还控制各阶方向导数。通过 bastiani-calculus 的 σ-紧适配实现。