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title: "加权空间 (Weighted Spaces)"
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created: 2026-06-17
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updated: 2026-06-17
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type: concept
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tags: [functional-analysis, topology, approximation-theory]
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sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
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confidence: high
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# 加权空间 (Weighted Spaces)
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加权空间是 [[weighted-uat-manifolds|Schmocker & Teichmann (2026)]] 框架的**核心技术设定**——通过权重函数 Ψ 控制函数和导数在非紧区域的行为，实现全局逼近。
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## 动机
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经典 [[universal-approximation-theorem|UAT]] 在紧集上工作。但：
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- 随机过程的路径**几乎必然不落在紧集中**
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- SDE 解的支撑集是非紧的
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- 需要全局逼近理论
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## 定义
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权重函数 Ψ 是一族连续函数，定义"可接受的"增长速率：
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k k
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B_Ψ (M; Y) := { f : M → Y in C^k : 对任意 p, ∃C: ‖f‖_{k,Ψ} < ∞ }
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其中 `‖f‖_{k,Ψ}` 是加权 C^k 半范数。
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## 关键性质
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- **Ψ-moderate growth**：函数和直到 k 阶导数被 Ψ 控制
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- **子代数条件**：加权空间中乘积的封闭性
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- **分离性**：权重族必须足够丰富以分离点
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- **局部凸结构**：半范数族生成局部凸拓扑
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## 扩展：高阶切空间权重
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论文将加权设置扩展到**高阶切空间**——不仅控制函数值，还控制各阶方向导数。通过 [[bastiani-calculus|Bastiani 微积分]] 的 σ-紧适配实现。
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## 参考
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- [[nachbin-theorem|Nachbin 定理]]
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- [[infinite-dimensional-manifolds|无限维流形]]
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- [[universal-approximation-theorem|UAT]]
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- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]
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