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concepts/wiener-process.md

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+title: "维纳过程 (Wiener Process)"
+created: 2026-06-17
+updated: 2026-06-17
+type: concept
+tags: [mathematics, stochastic-processes, probability]
+sources: [raw/papers/tiwari-ticks-to-flows-2026.md]
+confidence: high
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+# 维纳过程 (Wiener Process)
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+Wiener 过程（即标准 Brownian motion）是**连续时间随机过程的基本构建块**，在 [[stochastic-differential-equation|SDE]] 理论中扮演噪声驱动的角色。
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+## 定义
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+一个随机过程 `W_t` 称为 Wiener 过程，若满足：
+
+1. `W_0 = 0`（从原点出发）
+2. 样本路径几乎必然连续
+3. 增量独立：对任意 `s < t`，`W_t - W_s` 与 `W_u (u ≤ s)` 独立
+4. 增量服从正态分布：`W_t - W_s ~ N(0, t-s)`
+5. 是平方可积鞅（martingale）
+
+## 多维 Wiener 过程
+
+`d_s` 维 Wiener 过程是 `d_s` 个独立的一维 Wiener 过程的拼接，用于建模**多维连续状态空间**。
+
+## 在强化学习中的应用
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+在 [[continuous-time-rl|连续时间 RL]] 中，Wiener 过程驱动环境动态中的随机性：
+
+```
+ds_t = drift * dt + σ(s_t) dW_t
+```
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+- `dW_t` 是独立噪声增量的来源
+- `σ(s_t)` 决定噪声随状态变化的强度
+- 离散模拟时：`ΔW_j ~ N(0, Δt)`
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+## 在 Ticks-to-Flows 中的角色
+
+[[ticks-to-flows|Tiwari et al. (2026)]] 使用 Wiener 过程驱动两种噪声：
+- **环境噪声** `dW_t`：环境转移中的固有随机性
+- **探索噪声** `dW'_t`：策略探索引入的随机性
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+## 参考
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+- [[stochastic-differential-equation|SDE]]
+- [[ito-calculus|Itô 微积分]]
+- [[exploratory-dynamics|探索动力学]]
+- [[ticks-to-flows|Ticks to Flows]]