20260514:增加新内容

concepts/koopman-theory.md

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+title: "Koopman Theory（Koopman 理论）"
+created: 2026-05-11
+updated: 2026-05-11
+type: concept
+tags: [dynamical-systems, operator-theory, mathematical-physics]
+sources: [[liu-koopa-2023]]
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+# Koopman Theory（Koopman 理论）
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+## 定义
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+Koopman 理论（Bernard Koopman, 1931）是动力系统的算子理论框架：假设系统状态 x_t 可被投影到测量函数 g 的空间中，该空间中的动力学由一个**无限维线性算子 K** 驱动：
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+K ∘ g(x_t) = g(F(x_t)) = g(x_{t+1})
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+## 核心洞见
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+- **从非线性到线性的映射**：在原始状态空间是非线性的动力学 F，在测量函数空间中是线性的
+- **谱分析能力**：线性算子可应用全套谱分析工具，获得动力学的深度解析
+- **无限维代价**：算子 K 是无限维的，实践中需要有限维近似
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+## 数值实现
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+[[dynamic-mode-decomposition|动态模式分解 (DMD)]] 是标准的有限维 Koopman 算子近似方法。[[koopman-autoencoder|Koopman 自编码器 (KAE)]] 用深度网络学习测量函数，避免了手工设计的困难。
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+## 相关概念
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+- [[koopman-predictor|Koopman 预测器]]
+- [[dynamic-mode-decomposition|DMD]]
+- [[liu-koopa-2023|Koopa]]