20260720

concepts/geometric-information-decomposition.md

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+title: "Geometric Information Decomposition (GID, 几何信息分解)"
+created: 2026-07-10
+updated: 2026-07-10
+type: concept
+tags: ["directional-statistics", "information-geometry", "maximum-entropy", "spherical-data"]
+sources: ["[[gid-sphere-2026|GID (You, 2026)]]"]
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+# Geometric Information Decomposition (GID)
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+**GID**（You, 2026）是一种针对球面上**加权经验测度**的方向不确定性分层诊断方法，通过嵌套最大熵投影将几何结构分解为信息缺口序列。
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+## 动机：vMF 的盲区
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+标准做法：对加权方向数据拟合 vMF 分布，报告 κ̂（浓度）。但在以下情况 vMF 完全失败：
+
+| 结构 | vMF 输出 | 真实情况 |
+|------|---------|---------|
+| 反极点 (antipodal) | κ̂ ≈ 0（接近均匀） | 沿轴高度集中 |
+| 腰带 (girdle) | 平均方向消失 | 赤道面强结构 |
+| 多模态对称 | 低阶矩抵消 | 远非均匀 |
+
+## GID 的核心机制
+
+```
+特征空间嵌套: V₀ ⊂ V₁ ⊂ V₂ ⊂ ... ⊂ V_L
+                  │       │       │
+              uniform   vMF   Fisher-Bingham
+                             axial/girdle
+```
+
+对每个级别 L，拟合**最大熵投影** p^P_L（保留 V_L 矩约束的最无结构密度），其与均匀分布的 KL 散度即为**熵赤字**：
+
+```
+D_L(P) = KL(p^P_L ν ∥ ν) = Σ_{ℓ=1}^L I_ℓ(P)
+```
+
+**信息缺口** I_L(P) = D_L(P) - D_{L-1}(P) 量化了第 L 级特征新增的几何信息。
+
+## 三级指纹
+
+| 级别 | 特征空间 | 捕获结构 |
+|------|---------|---------|
+| I₁ | 球谐 1 阶 | vMF 平均方向（浓度） |
+| I₂ | 球谐 2 阶 | Fisher-Bingham 轴性、反极点、椭圆度、腰带 |
+| I₃+ | 球谐 ≥3 阶 | 多模态、更精细角结构 |
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+## 关键理论性质
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+- **不变性**：基选择不变 + 旋转不变（球谐完备度空间）
+- **一致性**（Theorem 6）：Î_L → I_L(P)
+- **Delta 法渐近正态**（Theorem 7）：非零缺口下的置信区间
+- **二阶零校准**（Theorem 8）：2a²_n Î_L ⇒ χ²_q 在 I_L=0 的零假设下
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+## 参考
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+- [[gid-sphere-2026|GID 论文]]
+- [[entropy-deficit|Entropy Deficit]]
+- [[information-gap|Information Gap]]
+- [[maximum-entropy-projection|Maximum Entropy Projection]]