Geometric Information Decomposition (GID)

GID（You, 2026）是一种针对球面上加权经验测度的方向不确定性分层诊断方法，通过嵌套最大熵投影将几何结构分解为信息缺口序列。

动机：vMF 的盲区

标准做法：对加权方向数据拟合 vMF 分布，报告 κ̂（浓度）。但在以下情况 vMF 完全失败：

结构	vMF 输出	真实情况
反极点 (antipodal)	κ̂ ≈ 0（接近均匀）	沿轴高度集中
腰带 (girdle)	平均方向消失	赤道面强结构
多模态对称	低阶矩抵消	远非均匀

GID 的核心机制

特征空间嵌套: V₀ ⊂ V₁ ⊂ V₂ ⊂ ... ⊂ V_L
                  │       │       │
              uniform   vMF   Fisher-Bingham
                             axial/girdle

对每个级别 L，拟合最大熵投影 p^P_L（保留 V_L 矩约束的最无结构密度），其与均匀分布的 KL 散度即为熵赤字：

D_L(P) = KL(p^P_L ν ∥ ν) = Σ_{ℓ=1}^L I_ℓ(P)

信息缺口 I_L(P) = D_L(P) - D_{L-1}(P) 量化了第 L 级特征新增的几何信息。

三级指纹

级别	特征空间	捕获结构
I₁	球谐 1 阶	vMF 平均方向（浓度）
I₂	球谐 2 阶	Fisher-Bingham 轴性、反极点、椭圆度、腰带
I₃+	球谐 ≥3 阶	多模态、更精细角结构

关键理论性质

不变性：基选择不变 + 旋转不变（球谐完备度空间）
一致性（Theorem 6）：Î_L → I_L(P)
Delta 法渐近正态（Theorem 7）：非零缺口下的置信区间
二阶零校准（Theorem 8）：2a²_n Î_L ⇒ χ²_q 在 I_L=0 的零假设下

2.2 KiB Raw Blame History Unescape Escape

Geometric Information Decomposition (GID)

动机：vMF 的盲区

GID 的核心机制

三级指纹

关键理论性质

参考

2.2 KiB

Raw Blame History