20260720

concepts/low-curvature-high-curvature-decomposition.md

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+title: "Low/High Curvature Decomposition (低/高曲率分解)"
+created: 2026-07-10
+updated: 2026-07-10
+type: concept
+tags: ["graph-partitioning", "adaptive-sampling", "curvature", "data-reduction"]
+sources: ["[[cubas-curvature-adaptive-sampling-2026|CuBAS]]"]
+---
+
+# Low/High Curvature Decomposition (低/高曲率分解)
+
+CuBAS 的核心操作是将带标签 k-NN 图按局部曲率分为两个互补区域：
+
+```
+L = {i : S_i(β) < T}  — 低曲率节点
+H = {i : S_i(β) ≥ T}  — 高曲率节点
+```
+
+## 两个区域的语义
+
+| 区域 | 位置 | 信息量 | 筛选策略 |
+|------|------|--------|---------|
+| **L (低曲率)** | 簇内部、均匀邻域 | 低冗余 | 随机采样少量原型 |
+| **H (高曲率)** | 决策边界、异质邻域 | 高判别力 | 尽可能保留 |
+
+## 信号处理类比
+
+- **L 节点** ≈ 低通滤波：保留主导簇结构、类内一致性
+- **H 节点** ≈ 高通滤波：突出标签急剧变化处（类边界）
+
+## 采样策略
+
+给定训练比例 p：
+```
+N_L = ⌊p|L|⌋  → 从 L 无放回随机采样
+N_H = ⌊p|H|⌋  → 从 H 无放回随机采样
+D_train = [X_L, X_H]
+D_test  = [L\X_L, H\X_H]
+```
+
+**关键特性**：在压缩训练集的同时保留 (a) 簇的代表性原型 (b) 边界的关键判别样本。
+
+## 验证
+
+60+ 数据集实验表明，H 节点**系统性地集中在决策边界附近**（可视化显示 black nodes = H）。即使在 wine-quality 等严重类别重叠的数据集上，CuBAS 仍能通过该分解获得显著提升（+25.1pp）。
+
+## 参考
+
+- [[cubas-curvature-adaptive-sampling-2026|CuBAS]]
+- [[adaptive-threshold-estimation|Adaptive Threshold Estimation]]
+- [[shape-operator|Shape Operator]]