20260720

concepts/potts-markov-random-field.md

@@ -0,0 +1,42 @@
+---
+title: "Potts Markov Random Field (Potts MRF)"
+created: 2026-07-10
+updated: 2026-07-10
+type: concept
+tags: ["markov-random-field", "graphical-models", "statistical-physics", "adaptive-sampling"]
+sources: ["[[cubas-curvature-adaptive-sampling-2026|CuBAS]]"]
+---
+
+# Potts Markov Random Field (Potts MRF)
+
+**Potts MRF** 是 Ising 模型向 q 个离散状态的推广，最初用于自旋系统的统计物理研究，现已发展为图结构数据上离散变量交互的通用概率框架。
+
+## 局部条件分布
+
+在 k-NN 图上，各向同性 pairwise q-state Potts 模型的局部条件分布为：
+
+```
+p(x_i = m | η_i, β) = exp(β U_i(m)) / Σ_{ℓ=1}^q exp(β U_i(ℓ))
+```
+
+其中 U_i(m) 是节点 i 的邻居中标签为 m 的个数，β 为逆温度参数。
+
+## β 的作用
+
+- **β 大**：邻居标签强一致 → 均匀簇
+- **β = 0**：统计独立，所有标签等概率
+- **β 控制**了图的"平滑度"，决定了标签配置的空间结构
+
+## 在 CuBAS 中的角色
+
+[[cubas-curvature-adaptive-sampling-2026|CuBAS]] 将带标签 k-NN 图建模为 Potts MRF，将数据集视为由 β 参数化的[[statistical-manifold|统计流形]]。通过该模型的[[observed-fisher-information|观测 Fisher 信息]]构造局部曲率算子[[shape-operator|shape operator]]，使样本筛选成为几何推断问题。
+
+## Hammersley-Clifford 定理
+
+该定理保证 Potts 模型同时具有全局 Gibbs 分布和局部条件分布两种等价表示。CuBAS 采用后者，避免全局配分函数的不可解性。
+
+## 参考
+
+- [[cubas-curvature-adaptive-sampling-2026|CuBAS]]
+- [[maximum-pseudo-likelihood|MPL Estimation]]
+- [[observed-fisher-information|Observed Fisher Information]]