20260720

concepts/quarantining-theorem.md

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+title: "Quarantining Theorem (隔离定理)"
+created: 2026-07-10
+updated: 2026-07-10
+type: concept
+tags: ["smg", "orthogonal-decomposition", "hallucination-containment", "fisher-metric"]
+sources: ["[[smg-framework-2026|SMG (Cheng et al., 2026)]]"]
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+# Quarantining Theorem (隔离定理)
+
+SMG 的**Quarantining Theorem**（隔离定理）是 [[statistically-meaningful-geometry|SMG]] 框架的基石定理，证明了过参数化模型中的垂直 gauge 噪声可以在几何上被完全隔离。
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+## 定理陈述
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+在 SMG 纤维丛 B_SMG = (M, B, π, V, H, ω) 上，对任意点 f ∈ M，切空间分解为 Fisher-Rao 度量 gf 下的正交直和：
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+```
+Tf M = Hf ⊕ Vf,   其中 Hf ⊥_{gf} Vf
+```
+
+即：SVDχ（水平统计方向）与 SID（垂直结构方向）严格度量正交。
+
+## 推论：幻觉几何遏制
+
+**Theorem (Hallucination Containment)**：在联络过滤预训练下，模型的 OOD 预测方差由基空间 B 的有限度量直径严格上界约束：
+
+```
+Var_OOD ≤ diam_gB(B) < ∞
+```
+
+这意味着：
+- 尽管参数空间无穷维，生成幻觉的方差**不可能**发散
+- 幻觉不是随机现象——它是垂直 gauge 噪声未过滤时对水平信号的**结构性污染**
+- SMG 通过几何隔离从根本上消除幻觉产生的拓扑条件
+
+## 隔离机制
+
+```
+总梯度 ∇f = P_H(∇f) + P_V(∇f)
+         ──┬───       ──┬───
+    统计信号 (SVDχ)  规范噪声 (SID)
+           │              │
+           ▼              ▼
+     参数更新 (B)   隔离丢弃 (Vf)
+```
+
+联络 ω 保证水平分量与垂直分量在 Fisher-Rao 内积下正交 → 两个通道永不串扰。
+
+## 参考
+
+- [[statistically-meaningful-geometry|SMG]]
+- [[ehresmann-connection-filtering|Ehresmann Connection Filtering]]
+- [[statistically-verifiable-directions|SVDχ]]
+- [[structural-internal-directions|SID]]