20260720

concepts/shape-operator.md

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+title: "Shape Operator (形状算子)"
+created: 2026-07-10
+updated: 2026-07-10
+type: concept
+tags: ["differential-geometry", "curvature", "information-geometry"]
+sources: ["[[cubas-curvature-adaptive-sampling-2026|CuBAS]]", "do Carmo (2017)"]
+---
+
+# Shape Operator (形状算子)
+
+**Shape Operator**（Weingarten 映射）是微分几何中的基本对象，通过第一和第二基本形式的组合量化曲面局部的弯曲程度。
+
+## 形式定义
+
+设 M 是配备第一基本形式 G(θ) 和第二基本形式 B(θ) 的正则流形：
+
+```
+S(θ) = -B(θ) G(θ)^{-1}
+```
+
+几何上，S 测量单位法向量沿切方向移动时的变化率。其**特征值**为主曲率，**行列式**为高斯曲率，**迹的一半**为平均曲率。
+
+## 在 CuBAS 中
+
+在 Potts MRF 模型中，统计流形仅由 β 一维参数化 → shape operator 退化为标量：
+
+```
+S_i(β) = -Ψ_i(β) / (Φ_i(β) + λ)
+```
+
+其中：
+- Ψ_i(β) 是节点 i 的局部二阶 [[observed-fisher-information|Fisher 信息]]
+- Φ_i(β) 是节点 i 的局部一阶 Fisher 信息
+
+该标量直接度量每个节点的**统计曲率**——高曲率对应决策边界附近、低曲率对应簇内部。
+
+## 与其他曲率概念的区别
+
+| 概念 | 计算对象 | 用途 |
+|------|---------|------|
+| Shape Operator | 统计流形（Fisher 信息诱导） | 信息量度量 |
+| [[curvature-based-adaptive-sampling|CuBAS 曲率]] | 带标签 k-NN 图 | 样本筛选 |
+| Ricci Curvature (Ollivier) | 图边的 transport 距离 | 图结构分析 |
+
+## 参考
+
+- [[cubas-curvature-adaptive-sampling-2026|CuBAS]]
+- [[statistical-manifold|Statistical Manifold]]
+- [[information-geometry|Information Geometry]]