Shape Operator (形状算子)

Shape Operator（Weingarten 映射）是微分几何中的基本对象，通过第一和第二基本形式的组合量化曲面局部的弯曲程度。

形式定义

设 M 是配备第一基本形式 G(θ) 和第二基本形式 B(θ) 的正则流形：

S(θ) = -B(θ) G(θ)^{-1}

几何上，S 测量单位法向量沿切方向移动时的变化率。其特征值为主曲率，行列式为高斯曲率，迹的一半为平均曲率。

在 Potts MRF 模型中，统计流形仅由 β 一维参数化 → shape operator 退化为标量：

S_i(β) = -Ψ_i(β) / (Φ_i(β) + λ)

其中：

该标量直接度量每个节点的统计曲率——高曲率对应决策边界附近、低曲率对应簇内部。

概念	计算对象	用途
Shape Operator	统计流形（Fisher 信息诱导）	信息量度量
[[curvature-based-adaptive-sampling	CuBAS 曲率]]	带标签 k-NN 图
Ricci Curvature (Ollivier)	图边的 transport 距离	图结构分析