20260720

concepts/smg-fiber-bundle.md

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+title: "SMG Fiber Bundle (SMG 纤维丛)"
+created: 2026-07-10
+updated: 2026-07-10
+type: concept
+tags: ["fiber-bundle", "smg", "differential-geometry", "topology"]
+sources: ["[[smg-framework-2026|SMG (Cheng et al., 2026)]]"]
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+# SMG Fiber Bundle (SMG 纤维丛)
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+[[statistically-meaningful-geometry|SMG]] 的数学架构——一个六元组 **BSMG = (M, B, π, V, H, ω)**，明确定义了过参数化统计系统的拓扑管辖权。
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+## 六元组定义
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+| 组件 | 类型 | 角色 |
+|------|------|------|
+| **M** | 无穷维 [[orlicz-statistical-manifold|Orlicz 统计流形]] | 总空间——所有有效概率密度 |
+| **B** | 光滑 Hausdorff 统计流形，dim = d | 可识别宏观统计轮廓的基空间 |
+| **π** | 光滑满射 M → B | 投影——将密度映射为可观测统计轮廓 |
+| **V** | dim = ∞ | 垂直子空间 SID = ker(dπ) |
+| **H** | dim = d | 水平分布 SVDχ——与 V 度量正交 |
+| **ω** | Ehresmann 联络 1-形式 | 动态几何过滤器 |
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+## 为什么拒绝主丛 + Lie 群？
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+SMG **明确拒绝**主纤维丛和 Lie 群公式（标准规范场论范式），因为：
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+> 过参数化统计模型中的结构对称性（节点排列、尺度不变性）不构成自由且 proper 的齐性群作用。
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+SMG 采用**一般纤维丛 + Ehresmann 联络**——不需要群结构即可定义垂直/水平分解。
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+## 与 Amari 信息几何的比较
+
+| | Amari 信息几何 | SMG |
+|---|---|---|
+| 总空间 | 有限维参数流形 | 无穷维 Orlicz 流形 |
+| 结构 | 单一流形 | 纤维丛 |
+| 切空间 | 单一 T_θ | 正交直和 Hf ⊕ Vf |
+| 过参数化处理 | 不可处理（Fisher 退化） | 自然隔离（SID） |
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+## 参考
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+- [[statistically-meaningful-geometry|SMG]]
+- [[orlicz-statistical-manifold|Orlicz Statistical Manifold]]
+- [[ehresmann-connection-filtering|Ehresmann Connection Filtering]]
+- [[information-geometry|Information Geometry]]