20260720

concepts/spherical-harmonic-features.md

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+title: "Spherical Harmonic Features (球谐特征)"
+created: 2026-07-10
+updated: 2026-07-10
+type: concept
+tags: ["spherical-harmonics", "directional-statistics", "harmonic-analysis", "gid"]
+sources: ["[[gid-sphere-2026|GID (You, 2026)]]"]
+---
+
+# Spherical Harmonic Features (球谐特征)
+
+在 [[geometric-information-decomposition|GID]] 中，嵌套特征空间 V_L 的标准选择是**完备球谐度空间**。
+
+## 构造
+
+在 S^{d-1} 上，球谐函数按**度** (degree) 组织：
+
+```
+V_L = span{ 所有球谐函数 up to degree L }
+```
+
+- V₀ = {0}（均匀分布）
+- V₁ = 线性球谐 — dim = d — 捕获平均方向
+- V₂ = 二次球谐 — dim = d(d+1)/2 - 1 — 捕获轴性、椭圆度
+- V₃+ = 三次及以上 — 捕获多模态
+
+## 关键性质
+
+### 旋转不变性
+
+完备球谐度空间在旋转群 SO(d) 作用下闭合 → GID 分解**旋转不变**：
+
+```
+D_L(g_#P) = D_L(P),  I_L(g_#P) = I_L(P),  ∀g ∈ SO(d)
+```
+
+### 维度扩展
+
+| d | dim(V₁) | dim(V₂) | dim(V₃) |
+|---|---------|---------|---------|
+| 2 | 2 | 2 | 2 |
+| 3 | 3 | 5 | 7 |
+| 10 | 10 | 54 | 154 |
+| 100 | 100 | 5049 | 166649 |
+
+高维场景（如嵌入向量 d ≥ 100）中，完全球谐拟合在计算上不可行 → GID 支持**结构化/投影特征空间**作为替代。
+
+## 与其他基的关系
+
+GID 明确设计为**基无关**的——任何满足连续性和嵌套条件的函数空间均可使用。球谐之所以被推荐，是因为：
+1. 旋转不变性
+2. 清晰的度数→几何结构对应
+3. 前两级与已知方向分布（vMF、Fisher-Bingham）精确对齐
+
+## 参考
+
+- [[geometric-information-decomposition|GID]]
+- [[maximum-entropy-projection|Maximum Entropy Projection]]
+- [[information-gap|Information Gap]]