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| Spherical Harmonic Features (球谐特征) | 2026-07-10 | 2026-07-10 | concept |
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Spherical Harmonic Features (球谐特征)
在 geometric-information-decomposition 中，嵌套特征空间 V_L 的标准选择是完备球谐度空间。
构造
在 S^{d-1} 上，球谐函数按度 (degree) 组织：
V_L = span{ 所有球谐函数 up to degree L }
- V₀ = {0}（均匀分布）
- V₁ = 线性球谐 — dim = d — 捕获平均方向
- V₂ = 二次球谐 — dim = d(d+1)/2 - 1 — 捕获轴性、椭圆度
- V₃+ = 三次及以上 — 捕获多模态
关键性质
旋转不变性
完备球谐度空间在旋转群 SO(d) 作用下闭合 → GID 分解旋转不变：
D_L(g_#P) = D_L(P), I_L(g_#P) = I_L(P), ∀g ∈ SO(d)
维度扩展
| d | dim(V₁) | dim(V₂) | dim(V₃) |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 5 | 7 |
| 10 | 10 | 54 | 154 |
| 100 | 100 | 5049 | 166649 |
高维场景（如嵌入向量 d ≥ 100）中，完全球谐拟合在计算上不可行 → GID 支持结构化/投影特征空间作为替代。
与其他基的关系
GID 明确设计为基无关的——任何满足连续性和嵌套条件的函数空间均可使用。球谐之所以被推荐，是因为：
- 旋转不变性
- 清晰的度数→几何结构对应
- 前两级与已知方向分布（vMF、Fisher-Bingham）精确对齐