20260720

concepts/statistically-verifiable-directions.md

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+title: "Statistically Verifiable Directions (SVDχ, 统计可验证方向)"
+created: 2026-07-10
+updated: 2026-07-10
+type: concept
+tags: ["information-geometry", "smg", "statistical-inference", "fisher-metric"]
+sources: ["[[smg-framework-2026|SMG (Cheng et al., 2026)]]"]
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+
+# Statistically Verifiable Directions (SVDχ)
+
+**SVDχ**（Statistical Variational Directions）是 [[statistically-meaningful-geometry|SMG]] 框架中水平切子空间 Hf，定义为参数变化**产生严格正 Fisher 信息方差**的方向——即能被有限经验数据检测到的变化。
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+## 形式化定义
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+在 Orlicz 总流形 M 的任意点 f，SVDχ 由非参数 Stein 得分函数张成：
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+```
+Hf ≡ SVDχ := span{ ∂ ln f(u) / ∂u_i }_{i=1}^d
+```
+
+关键性质：
+- **dim(SVDχ) = d**：有限维，匹配可观测协变量的维度
+- **Fisher-Rao 度量严格正定**：在 Hf 上可逆，经典统计效率界恢复
+- **与 SID 正交**：gf(h, v) = 0, ∀h ∈ Hf, v ∈ Vf
+
+## SVDχ 上的操作
+
+SMG 的 **Two-Fold Inference Paradigm** 的第一折——水平统计推断——在 SVDχ 上执行：
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+- **MLE / 贝叶斯更新**：在 Hf 坐标上运行经典统计
+- **自然梯度下降**：仅沿 SVDχ 方向更新参数
+- **模型选择准则**（AIC/BIC）：仅在 d 维基空间上计算复杂度
+
+## 与非退化 Fisher 信息的关系
+
+在 SVDχ 上，每个空间位移对应分布的可观测变化——这与 [[fisher-information-metric|Fisher 信息度量]] 的标准假设一致。SMG 的贡献在于**将 Fisher 非退化从整个参数空间的假设转化为纤维丛的拓扑约束**：仅在 Hf 上要求正定性，在 Vf（SID）上允许完全退化。
+
+## 参考
+
+- [[statistically-meaningful-geometry|SMG]]
+- [[structural-internal-directions|SID]]
+- [[two-fold-inference-paradigm|Two-Fold Inference]]
+- [[fisher-information-metric|Fisher Information Metric]]