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| Statistically Verifiable Directions (SVDχ, 统计可验证方向) | 2026-07-10 | 2026-07-10 | concept |
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Statistically Verifiable Directions (SVDχ)
SVDχ（Statistical Variational Directions）是 statistically-meaningful-geometry 框架中水平切子空间 Hf，定义为参数变化产生严格正 Fisher 信息方差的方向——即能被有限经验数据检测到的变化。
形式化定义
在 Orlicz 总流形 M 的任意点 f，SVDχ 由非参数 Stein 得分函数张成：
Hf ≡ SVDχ := span{ ∂ ln f(u) / ∂u_i }_{i=1}^d
关键性质：
- dim(SVDχ) = d：有限维，匹配可观测协变量的维度
- Fisher-Rao 度量严格正定：在 Hf 上可逆，经典统计效率界恢复
- 与 SID 正交：gf(h, v) = 0, ∀h ∈ Hf, v ∈ Vf
SVDχ 上的操作
SMG 的 Two-Fold Inference Paradigm 的第一折——水平统计推断——在 SVDχ 上执行：
- MLE / 贝叶斯更新：在 Hf 坐标上运行经典统计
- 自然梯度下降：仅沿 SVDχ 方向更新参数
- 模型选择准则（AIC/BIC）：仅在 d 维基空间上计算复杂度
与非退化 Fisher 信息的关系
在 SVDχ 上，每个空间位移对应分布的可观测变化——这与 fisher-information-metric 的标准假设一致。SMG 的贡献在于将 Fisher 非退化从整个参数空间的假设转化为纤维丛的拓扑约束：仅在 Hf 上要求正定性，在 Vf（SID）上允许完全退化。