SidneyZhang/myWiki

Fork 0

Files

Sidney Zhang dd8345a6ea

20260420:first commit

2026-04-20 11:42:41 +08:00

4.5 KiB

Raw Blame History

title, created, updated, type, tags, sources

title

created

updated

type

EML 算子 (Exp-Minus-Log)

定义

EML (Exp-Minus-Log) 是一个二元算子，定义为：

\text{eml}(x,y) = \exp(x) - \ln(y)

该算子配合常数 $1$，构成了连续数学中的 Sheffer 算子——单一算子足以生成所有初等函数。

核心性质

完备性

与数字电路中的 NAND 门类似，EML 对初等函数具有完备性
两按钮计算器 (1, \text{eml}) 可替代 36 按钮科学计算器
可生成：所有算术运算、超越函数、数学常数 (e,\pi,i)

二叉树结构

每个 EML 表达式是同质节点的二叉树：

S \to 1 \mid \text{eml}(S,S)

这种结构与满二叉树和 Catalan 数同构，提供了规则的搜索空间。

复数中间值

EML 计算需要在复数域内进行（至少内部如此）
类似于量子计算使用复振幅计算实概率
生成 i 和 \pi 需要计算 \ln(-1)

基本构造示例

目标	EML 表达式	深度
`e`	`\text{eml}(1,1)`	1
`e^x`	`\text{eml}(x,1)`	1
`\ln(x)`	`\text{eml}(1,\text{eml}(\text{eml}(1,x),1))`	3
`0`	`\text{eml}(\text{eml}(1,1),\text{eml}(1,1))`	3
`-1`	复杂组合	15-17
`x+y`	复杂组合	19-27
`x\times y`	复杂组合	17-41

变体算子

$$\begin{align} \text{eml}(x,y) &= \exp(x) - \ln(y) & \text{需常量 } 1 \ \text{edl}(x,y) &= \exp(x) / \ln(y) & \text{需常量 } e \ -\text{eml}(y,x) &= \ln(x) - \exp(y) & \text{需常量 } -\infty \end{align}$$

约化历程

从 36 个原始操作到 EML 的逐步约化：

Base-36 — 标准科学计算器 (36 个原始操作)
Calc 3 — 保留 \exp,\ln,-x,1/x,+ (6 个)
Calc 2 — 保留 \exp,\ln,- (4 个)
Calc 1 — 使用 x^y,\log_x y 和常量 e 或 \pi (4 个)
Calc 0 — 使用 \exp 和 \log_x y (3 个)
EML — 单一二元算子 + 常量 1 (2 个)

应用场景

符号回归

EML 树可作为"主公式"架构：

构造固定深度的完整二叉树
每个输入是 $1$、变量 x 或子树结果的线性组合
使用梯度优化（Adam）训练参数
训练后将权重"吸附"到 0/1 精确值

模拟电路

EML 可作为模拟计算的基本构建块，类似于运算放大器。

形式化验证

在 Mathematica 和 IEEE754 浮点中工作良好
在 Lean 4 中遇到挑战（因 \ln(0)=0 的"垃圾值"定义）
需要处理扩展实数 (\pm\infty) 和复数分支切割

与符号回归的联系

EML 树表示使得 symbolic-regression 可通过梯度下降而非组合搜索实现：

可训练电路：EML 树成为可微分计算图
标准优化器：Adam 等梯度方法可优化树参数
精确恢复：在浅层深度（≤4）时，该方法可从数值数据恢复闭式初等函数
损失地形：统一结构相比异构表达式树可能提供更优的优化地形

与布尔逻辑的类比

方面	布尔逻辑	连续数学
通用原语	NAND/NOR 门	EML 算子
元数	2 输入	2 输入
完备性	所有布尔函数	所有初等函数
结构	统一门网络	统一 EML 树
搜索空间	离散	连续（可微）

研究意义

神经-符号集成：桥接神经网络（可微）与符号数学
发现方法：通过系统穷举搜索发现——暗示可能存在其他通用原语
科学发现：有潜力从数据中自动发现物理定律
教育意义：暗示微积分/分析教学的极简基础

开放问题

无常量 Sheffer 算子 — 是否存在不需要区分常量的二元算子？
一元 Sheffer 算子 — 是否存在同时作为激活函数和初等函数生成器的一元算子？
更好性质的变体 — 是否存在非指数渐近、无定义域问题的类似算子？
连续族 — EML 是否属于一个更大的连续算子族？
最小深度 — 特定函数所需的最小 EML 树深度是多少？
多维推广 — 该方法能否扩展到多元函数和偏微分方程？
泛化影响 — EML 表示如何影响学习模型的泛化能力？

4.5 KiB Raw Blame History Unescape Escape