An Exponential Improvement for Ramsey Lower Bounds

arXiv: 2507.12926v2, math.CO, April 2026

一句话

78 年来首次对 Erdős (1947) 的 Ramsey 数下界做出指数级改进，通过引入 random-sphere-graph 模型，将经典概率方法从离散随机图推广到连续几何测度空间。

对任意常数 C > 1，存在 ε = ε(C) > 0，使得对充分大的 ℓ：

r(ℓ, Cℓ) ≥ (M_C + ε)^ℓ

其中 M_C = p_C^{-1/2}，p_C ∈ (0, 1/2) 是方程 C = log p_C / log(1-p_C) 的唯一解。

推论：对任意 δ ∈ (0, 1/2)，当 δ ≤ ℓ/k ≤ 1-δ 时：

r(ℓ, k) ≥ (1 + 2c_δ)^ℓ · (M_{k/ℓ})^ℓ ≥ (1 + c_δ)^ℓ · Er(ℓ, k)

（Er 为 Erdős 1947 年得到的下界）

不再使用经典的 Erdős-Rényi random-graph-theory，而是在 k 维单位球面 S^k 上均匀采样 n 个点，以概率 p 连边。这是几何测度与概率方法的首次深度融合。

引入了组合新概念 —— perfect-sequences，作为刻画球面上点的邻接结构的核心工具。证明了完美序列能"捕获"问题在随机球面图下的本质行为（Section 7）。