myWiki/papers/odrzywolek-eml-single-operator.md

title, created, updated, type, tags, sources

title	created	updated	type	tags	sources
All elementary functions from a single binary operator	2026-04-16	2026-04-16	paper	paper algorithm concept	raw/papers/odrzywolek-eml-single-operator-2026.md

All elementary functions from a single binary operator

arXiv: 2603.21852 [cs.SC]
作者: andrzej-odrzywolek
发表日期: 2026-03-23 (v1), 2026-04-04 (v2)

核心贡献

本文发现了连续数学中的 Sheffer 算子：单一二元算子

\text{eml}(x,y) = \exp(x) - \ln(y)

配合常数 $1$，足以生成科学计算器的所有初等函数。这类似于数字电路中 NAND 门对所有布尔逻辑的完备性。

关键结果

EML 完备性

• 两按钮计算器 (1, eml) 可替代 36 按钮科学计算器
• 生成所有算术运算 (+,-,\times,/)、超越函数 (\sin,\cos,\log,\exp)、常数 (e,\pi,i)
• 例如：$\exp(x) = \text{eml}(x,1)$，\ln(x) = \text{eml}(1,\text{eml}(\text{eml}(1,x),1))

二叉树语法

每个 EML 表达式是同质节点的二叉树，语法极简：

S \to 1 \mid \text{eml}(S,S)

这与满二叉树和 Catalan 结构同构。

符号回归

• EML 树可作为可训练电路，用 Adam 等优化器进行梯度优化
• 在树深 ≤4 时，可从数值数据中精确恢复闭式初等函数
• 成功率：深度 2 为 100%，深度 3-4 约 25%，深度 5 <1%

约化历程

配置	常量	一元	二元	计数
Base-36	8	20	8	36
Wolfram	\pi,e,i	\ln	+,\times,\wedge	7
Calc 3	none	\exp,\ln,-x,1/x	+	6
Calc 2	none	\exp,\ln	-	4
Calc 1	e 或 \pi	none	x^y,\log_x y	4
Calc 0	none	\exp	\log_x y	3
EML	1	none	eml	2

相关算子

$$\begin{align} \text{eml}(x,y) &= \exp(x) - \ln(y) & \text{常量 } 1 \ \text{edl}(x,y) &= \exp(x) / \ln(y) & \text{常量 } e \ -\text{eml}(y,x) &= \ln(x) - \exp(y) & \text{常量 } -\infty \end{align}$$

复杂度示例

函数	EML 编译器	直接搜索
e^x	3	3
\ln x	7	7
x+y	27	19
x\times y	41	17
\pi	193	>53

应用方向

1. EML 编译器 — 将公式编译为纯 EML 形式
2. 模拟电路 — EML 作为模拟计算的基本构建块
3. 符号回归 — 基于梯度优化的"主公式"方法
4. 神经网络可解释性 — 训练权重可"吸附"到精确符号值

开放问题

• 是否存在不需要区分常量的二元 Sheffer 算子？
• 是否存在同时作为神经激活函数和初等函数生成器的一元 Sheffer 算子？
• 是否存在具有更好性质（非指数渐近、无定义域问题）的类似算子？

相关页面

• andrzej-odrzywolek — 作者
• eml-operator — 核心数学概念