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| 高斯流形 | 2026-06-22 | 2026-06-22 | concept |
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高斯流形
Gaussian manifold 是将高斯分布族视为 Riemannian 流形的几何框架。每个高斯分布 N(x; \mu, \Sigma) 对应流形上的一点，参数 v = (\mu, \text{vec}(\Sigma^{-1})) 作为坐标。
Fisher 度量
在高斯流形上，自然度量是 Fisher 信息矩阵。对于参数化 $v$，Fisher 矩阵的逆具有解析形式：
F_v^{-1} = \begin{bmatrix} \Sigma & 0 \\ 0 & 2(\Sigma^{-1} \otimes \Sigma^{-1}) \end{bmatrix}
NANO 中的应用
nano-filter 的核心洞察：Bayesian 滤波的更新步可以在高斯流形上视为一个优化问题——在流形上寻找一个高斯分布以最小化更新代价 $J(\hat{x}_t, P_t)$。由于高斯流形具有非平凡的曲率，标准梯度下降并非最陡下降方向；natural-gradient-descent用 Fisher 矩阵校正梯度，补偿流形的弯曲。