NANO Filter

Natural Gradient Gaussian Approximation Filter — 一种面向非线性系统的迭代高斯滤波器，核心创新在于跳出「线性化 → KF」的传统使能框架，直接在 gaussian-manifold上用 natural-gradient-descent求解最优 Gaussian 近似。

核心问题

传统 gaussian-filtering（extended-kalman-filter, unscented-kalman-filter, posterior-linearization-filter）遵循两阶段设计：(i) 将非线性模型近似为线性高斯形式，(ii) 在线性模型上运行 kalman-filter。不同滤波器间的差异本质上是线性化策略的不同——但线性化误差始终存在。

方法论贡献

1. 优化视角重构 Bayesian 滤波

将 bayesian-filtering的预测步和更新步分别解释为两个变分优化问题：

预测步：最大化候选密度在转移概率下的期望对数似然 → 最优解即moment-matching-filter
更新步：最小化期望负对数似然 + KL 散度

利用 stein-lemma，将两个变分问题的驻点条件转化为有限维优化。

2. 自然梯度更新步

NANO 的核心算法创新：不在更新步做线性化，而是在 gaussian-manifold上直接用 natural-gradient-descent迭代最小化更新代价 $J(\hat{x}_t, P_t)$。

迭代公式（利用高斯分布 Fisher 矩阵 F_v 的解析逆）：


P_{t}^{-1,(i+1)} = P_{t|t-1}^{-1} + E_{N(x_t; \hat{x}_t^{(i)}, P_t^{(i)})}\left[\frac{\partial^2 \ell(x_t, y_t)}{\partial x_t^2}\right]


\hat{x}_t^{(i+1)} = \hat{x}_t^{(i)} - P_t^{(i+1)} \cdot E_{N(\cdot)}\left[\frac{\partial \ell(x_t, y_t)}{\partial x_t}\right] - P_t^{(i+1)} P_{t|t-1}^{-1}(\hat{x}_t^{(i)} - \hat{x}_{t|t-1})

3. 理论保证

局部收敛：NANO 的自然梯度迭代在二阶近似下保证更新代价单调递减
线性 Gaussian 一致性：在线性系统中，一次迭代即收敛到 KF 精确解，与初始化无关
指数误差界：在近线性测量方程和低噪声条件下，估计误差被证明为指数有界（通过构造跨时间步的超鞅性质）

4. 鲁棒扩展

基于 gibbs-posterior框架，将标准似然替换为广义损失函数以处理模型误设：

pseudo-huber-loss：大残差时线性增长，抑制离群值影响
加权对数似然：按数据依赖权重缩放似然贡献

实验

在真实系统实验（包括目标跟踪和导航场景）中，NANO 相对于 EKF、UKF、IEKF、PLF 等主流 Gaussian filter，平均 RMSE 降低约 45%，计算负担可比。

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