Itô 微积分 (Itô Calculus)

Itô 微积分是处理随机过程积分和微分的数学框架，是 stochastic-differential-equation 理论的核心工具。它在 ticks-to-flows 论文中扮演了从离散到连续的桥梁角色。

Itô 积分

将确定性的 Riemann 积分推广到随机积分：

∫_0^t σ(X_l) dW_l

其中 dW_l 是 wiener-process的增量。不同于确定性积分，Itô 积分使用左端点取值：σ(X_{t_j}) * (W_{t_{j+1}} - W_{t_j})。

随机版本的连锁法则（chain rule）——如果 f(X_t) 且 X_t 服从 SDE，则：

df(X_t) = f'(X_t) dX_t + (1/2) f''(X_t) σ(X_t)^2 dt

第二项（额外二阶项）是随机分析区别于确定性微积分的关键特征。

在 ticks-to-flows 的证明中，Itô-Taylor 展开被用于将状态随机变量 s̃_{t,τ} 表示为 NN 参数 W^τ - W^0 的多项式：

s̃_{t,τ} ≈ 多项式(W^τ - W^0)

这使得可以在梯度时间尺度上追踪状态分布的变化。