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| Ramsey Numbers（拉姆齐数） | 2026-05-11 | 2026-05-11 | concept |
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Ramsey Numbers（拉姆齐数）
定义
拉姆齐数 R(r,s) 是满足以下性质的最小正整数 n：对完全图 K_n 的任意红蓝二色边着色，必然包含一个红色 K_r 或一个蓝色 K_s。
等价表述：任意 n 顶点图或其补图中必含 r-团或 s-独立集的最小 n。
核心性质
- 对称性：R(r,s) = R(s,r)
- 边界：R(k,2) = k
- 递归上界：R(r,s) ≤ R(r-1,s) + R(r,s-1)（鸽巢原理）
已知精确值
| k | R(k) | 来源 |
|---|---|---|
| 3 | 6 | 聚会问题 |
| 4 | 18 | Greenwood-Gleason 1955 |
| 5 | 43-48 | Exoo(↓), McKay-Radziszowski(↑) |
| 6 | 102-165 | 精确值未知 |
一般界
- 下界（Erdős 1947）：R(k) > 2^{k/2}
- 上界（Conlon 2009）：R(k) ≤ 4^k / √k
- 指数鸿沟：底数 √2（≈1.414）到 4 的差距是核心未解决问题
非平凡渐近阶
R(3,k) = Θ(k²/log k) 是少数渐近阶已完全确定的例子（Ajtai-Komlós-Szemerédi 1980 + Kim 1995）。