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# 哥德尔编码 (Gödel Numbering)
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- **领域**: 数理逻辑
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- **发明者**: 库尔特·哥德尔, 1931
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- **来源**: [[godel-incompleteness-tutorial|哥德尔不完备定理教程]]
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## 定义
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哥德尔编码是将[[formal-systems|形式系统]]中的符号、公式和证明序列唯一地映射为自然数的技术。通过质因数分解的唯一性，实现从元数学陈述到算术陈述的翻译。
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## 编码规则
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**基本符号编码**：为形式系统的每个基本符号分配一个唯一的自然数（如：0→1, S→2, +→3, ·→4, =→5, ¬→6, ∧→7, ∀→8, ∃→9, (→10, )→11, x→13, y→17, z→19...）
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**公式编码**：若公式由符号序列 a₁a₂...aₖ 组成，各符号编码为 nᵢ，则：
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$$GN(φ) = 2^{n_1} \cdot 3^{n_2} \cdot 5^{n_3} \cdot ... \cdot p_k^{n_k}$$
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其中 pₖ 是第 k 个质数。
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**证明编码**：若证明是公式序列 φ₁,...,φₖ，各公式编码为 gᵢ，则：
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$$GN_{seq}(φ_1,...,φ_k) = 2^{g_1} \cdot 3^{g_2} \cdot ... \cdot p_k^{g_k}$$
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## 算术化元数学
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编码使得元数学概念转化为自然数的算术性质：
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- 「x 是一个公式」→ 自然数 x 具有某性质
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- 「x 是 y 的证明」→ 自然数 x 与 y 满足某关系
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- 「公式 φ 可证」→ ∃x (x 是 GN(φ) 的证明)
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这些算术性质在 [[peano-arithmetic|PA]] 中可表达，这是哥德尔证明的核心创新。
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## 关键应用
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- 构造可表示的关系 Proof(x, y) 和 Prov(y)
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- 定义替换函数 Sub(a, b, c)，实现[[self-reference|自指]]
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- 构造[[godel-incompleteness-theorems|哥德尔句子]] G = ¬Prov(Sub(n, n, n))
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## 相关概念
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[[diagonalization-method]] · [[self-reference]] · [[primitive-recursive-functions]] · [[metamathematics]]
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