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贝叶斯滤波	2026-06-22	2026-06-22	concept	state-estimation filtering probabilistic-inference	nano-filter

贝叶斯滤波

Bayesian filtering 是状态估计最通用的框架，通过递归的预测-更新两步计算状态的后验分布 $p(x_t | y_{1:t})$。

核心机制

• 预测步（Chapman-Kolmogorov 方程）：利用转移概率 p(x_t | x_{t-1}) 从上一时刻后验预测先验分布

p(x_t | y_{1:t-1}) = \int p(x_t | x_{t-1}) p(x_{t-1} | y_{1:t-1}) dx_{t-1}

• 更新步（Bayes 定理）：利用测量似然 p(y_t | x_t) 更新先验为后验

p(x_t | y_{1:t}) = \frac{p(y_t | x_t) p(x_t | y_{1:t-1})}{\int p(y_t | x_t) p(x_t | y_{1:t-1}) dx_t}

关键特性

• 线性高斯系统 → Kalman filter 给出解析解
• 非线性系统 → 需近似：Gaussian filter 族（参数化近似）或 Particle filter（离散采样近似）
• nano-filter 从变分优化视角重新构造了 Gaussian 滤波，将预测步与更新步分别视为两个优化问题

参考

• kalman-filter
• gaussian-filtering
• nano-filter