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| Bastiani 微积分 (Bastiani Calculus) | 2026-06-17 | 2026-06-17 | concept |
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Bastiani 微积分 (Bastiani Calculus)
Bastiani 微积分是局部凸拓扑向量空间上的一种微分学——在 weighted-uat-manifolds 中用于定义infinite-dimensional-manifolds上的可微映射。
为什么需要
有限维微积分依赖范数的等价性和局部紧性，这些在无限维中不成立。Bastiani 微积分使用方向导数的连续性作为可微的定义，避免了范数依赖。
定义
函数 f : U → F（U ⊆ E 开，E, F 局部凸空间）是 Bastiani C^1 的，若：
- 对每个方向 v ∈ E，方向导数
Df(x)(v)存在 - 映射
(x, v) ↦ Df(x)(v)在U × E → F上连续
高阶推广
k 次连续 Bastiani 可微类 C^k_B 定义在所有多线性映射的连续组合上。
论文中的适配
论文将 Bastiani 微积分适配到σ-紧设置：
- 标准 Bastiani 在任意开集上工作
- 论文需要在 σ-紧流形上的全局分析
- 引入加权半范数族控制导数的行为
与其他微分学的对比
| 微分学 | 适用范围 | 特点 |
|---|---|---|
| Fréchet | Banach 空间 | 范数依赖 |
| Gateaux | 一般拓扑向量空间 | 方向导数，不连续 |
| Bastiani | 局部凸空间 | 连续方向导数 |
| Convenient | 任意局部凸空间 | Mackey 连续性 |