标记时间点过程 (Marked Temporal Point Process)

标记 TPP 是 TPP 的自然推广——每个事件不仅有时间戳，还附带一个"标记"（mark），表示事件类型或附加属性。

定义

标记序列：

T = ((t_1, k_1), ..., (t_N, k_N))

其中 k_n 是第 n 个事件的标记，标记空间可是连续的（如价格）或离散的（如事件类别）。

当标记为离散类别时，标记 TPP 等价于多元 TPP——K 种事件类型对应 K 个一元 TPP，通过条件强度函数交叉耦合：

lambda*_k(t) = f_k(H_{t-})

这是 granger-causality-tpp 的数学基础。

标记 TPP 的条件分布可以分解为时间和标记的联合分布：

f(t, k | H_{t_n}) = f_time(t | H_{t_n}) * f_mark(k | t, H_{t_n})

这种分解使得模型可以先预测时间再预测类型，或联合建模。