1.9 KiB
1.9 KiB
title, created, updated, type, tags, sources, confidence
| title | created | updated | type | tags | sources | confidence | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 签名 (Signature of Paths) | 2026-06-17 | 2026-06-17 | concept |
|
|
high |
签名 (Signature of Paths)
签名是路径的泛函多项式基——可以理解为路径空间上的"Taylor 展开"或"非交换多项式"。weighted-uat-manifolds 证明签名的线性函数可以逼近任意路径泛函（含导数）。
定义
对路径 X : [0,T] → R^d，其截断到 K 阶的签名为：
S^K(X) = (1, S^1, S^2, ..., S^K)
其中 S^k(X) = ∫_{0≤t_1<...<t_k≤T} dX_{t_1} ⊗ ... ⊗ dX_{t_k}
一阶：增量向量 X_T - X_0
二阶：Lévy 面积 / 路径围成的面积
高阶：高阶迭代积分
核心性质
- 泛函逼近：任意连续路径泛函可被签名的线性函数任意逼近（类似多项式逼近连续函数）
- 对重参数化不变：签名对时间重参数化不变（捕获几何信息）
- 特征唯一性：rough paths 被其签名唯一确定
论文中的推广
Schmocker & Teichmann 证明了加权版本的 Signature UAT：
- 线性签名函数在加权路径空间中稠密
- 同时逼近泛函值及其方向导数
- 逼近在整个路径空间上成立，不含紧限制
Rough Path 理论
签名是 rough-path-theory（Lyons, 1998）的中心概念——使 Itô 积分和 SDE 理论可在确定性路径设定中严格表述。
机器学习的应用
- Signature Methods：将不规则时序数据映射为固定长度特征
- Log-Signature：签名的对数，更低维度
- Neural SDEs / Deep Signature Transforms