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title: "无限维流形 (Infinite-Dimensional Manifolds)"
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created: 2026-06-17
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updated: 2026-06-17
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type: concept
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tags: [mathematics, differential-geometry, functional-analysis]
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sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
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confidence: high
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# 无限维流形 (Infinite-Dimensional Manifolds)
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无限维流形是 [[weighted-uat-manifolds|Schmocker & Teichmann (2026)]] 理论中 [[functional-input-neural-networks|FNN]] 的**输入空间**——模型空间是局部凸拓扑向量空间（非有限维欧氏空间）。
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## 定义
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流形 M 局部同胚于**模型空间**（model space），在无限维设置中模型空间是：
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- **Fréchet 空间**：可度量完备局部凸空间
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- **Banach 空间**：范数完备空间
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- **Silva 空间**：紧算子序列的归纳极限
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论文聚焦于**σ-紧模型空间**上的流形（可数个紧集的并）。
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## σ-紧条件
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σ-紧是连通无限维流形的**必要不充分条件**：
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- 许多无限维空间（如不可分 Banach 空间）不 σ-紧
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- 论文的工作假设 σ-紧，使得加权分析和 [[bastiani-calculus|Bastiani 微积分]] 可行
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## 典型例子
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- **路径空间**：α-Hölder 连续路径空间 C^α([0,T]; R^d)
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- **Skorokhod 空间**：càdlàg 路径空间
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- **Schwartz 分布空间**：S'(R)
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- **流形上的截面空间**
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## 参考
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- [[functional-input-neural-networks|FNN]]
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- [[weighted-spaces|加权空间]]
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- [[bastiani-calculus|Bastiani 微积分]]
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- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]
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