非预期泛函 (Non-Anticipative Functionals)

非预期泛函是依赖路径过去而非未来的路径空间映射——在 weighted-uat-manifolds 中被证明可被 FNN 逼近（包括导数）。

定义

对路径 ω : [0,T] → R^d，泛函 F(ω)_t 在时间 t 是非预期的，若它仅依赖 ω|[0,t]（路径在 t 之前的部分）。

数学上：F(ω)_t = F(ω(·∧t))（停时自适应）。

论文的核心贡献之一是证明了 FNN 可以逼近非预期泛函的两种导数：

D_H F(ω)_t = lim_{h→0+} (F(ω(·+h))_{t+h} - F(ω)_t) / h

沿时间方向的导数——捕获时间演化的影响。

D_V F(ω)_t(η) = lim_{ε→0} (F(ω + εη)_t - F(ω)_t) / ε

沿空间扰动的导数——捕获路径形变的影响。

非预期泛函是Functional Itô 微积分的核心对象：

论文 Theorem 5.2：FNN 可在加权空间中同时逼近非预期泛函及其水平/垂直导数 → 这是首次将 UAT 从"函数值"拓展到 "泛函值 + 两种导数"。