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title: "非预期泛函 (Non-Anticipative Functionals)"
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created: 2026-06-17
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updated: 2026-06-17
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type: concept
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tags: [stochastic-processes, functional-analysis, path-space]
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sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
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confidence: high
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# 非预期泛函 (Non-Anticipative Functionals)
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非预期泛函是依赖**路径过去而非未来**的路径空间映射——在 [[weighted-uat-manifolds|Schmocker & Teichmann (2026)]] 中被证明可被 FNN 逼近（包括导数）。
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## 定义
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对路径 `ω : [0,T] → R^d`，泛函 `F(ω)_t` 在时间 t 是**非预期的**，若它仅依赖 `ω|[0,t]`（路径在 t 之前的部分）。
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数学上：`F(ω)_t = F(ω(·∧t))`（停时自适应）。
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## 水平与垂直导数
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论文的核心贡献之一是证明了 FNN 可以逼近非预期泛函的**两种导数**：
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### 水平导数（Horizontal Derivative）
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D_H F(ω)_t = lim_{h→0+} (F(ω(·+h))_{t+h} - F(ω)_t) / h
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沿时间方向的导数——捕获时间演化的影响。
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### 垂直导数（Vertical Derivative）
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D_V F(ω)_t(η) = lim_{ε→0} (F(ω + εη)_t - F(ω)_t) / ε
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沿空间扰动的导数——捕获路径形变的影响。
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## 重要性
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非预期泛函是**Functional Itô 微积分**的核心对象：
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- SDE 的解 → 非预期泛函
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- 路径依赖期权定价 → 非预期泛函
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- 随机控制 → 非预期泛函
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## 加权 UAT 的应用
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论文 Theorem 5.2：FNN 可在加权空间中同时逼近非预期泛函及其水平/垂直导数 → 这是首次将 UAT 从"函数值"拓展到 "泛函值 + 两种导数"。
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## 参考
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- [[functional-input-neural-networks|FNN]]
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- [[signature|Signature]]
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- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]
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